Factorial Design Builder

1 Introduksi

1.1 Latar Belakang

Full factorial design $2^k$ adalah skema DOE yang mengeksekusi semua kombinasi level faktor ($2^k$ run untuk $k$ faktor dengan 2 level masing-masing). Keunggulan: estimasi main effects + semua interaction tanpa confounding (Fisher, 1935; Montgomery, 2017). Untuk $k = 3$ ($2^3 = 8$ run), full factorial bisa estimasi 1 grand mean + 3 main effects + 3 two-factor + 1 three-factor interaction = 8 parameter (saturated design).

Trade-off: jumlah run eksponensial dengan $k$. Untuk $k = 7$: $2^7 = 128$ run. Karena itu fractional factorial (di Screening Design Builder) sering dipilih untuk $k \geq 5$. Pada tahap confirmatory atau dalam screening ($k \leq 5$), full factorial paling informatif.

1.2 Tujuan Modul

Modul Factorial Design Builder di SQalytics ditujukan untuk:

Membangun full factorial $2^k$ dengan $k = 2, 3, 4, 5$ faktor.
Mendukung center points untuk lack-of-fit + curvature detection.
Mendukung replicates untuk error estimation.
Menampilkan alias-free estimation (vs fractional).
Audiens: mahasiswa S2 industrial/food yang menjalankan DOE confirmatory, R&D dengan 3–5 faktor utama.

1.3 Posisi di Antara Alternatif

Pilih Factorial Design Builder untuk $k \leq 5$ faktor. Untuk $k \geq 6$ screening, pakai Screening Design Builder (fractional). Untuk multi-level optimasi, pakai RSM Studio (CCD, Box-Behnken). Untuk mixture proportion, pakai Mixture Design Explorer.

2 Metode

2.1 Dasar Teoretis

Coded levels: $-1$ (low) dan $+1$ (high). Untuk $k$ faktor, design matrix $N = 2^k$ baris × $k$ kolom.

Model effects untuk $2^3$:

$$ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_3 x_3 + \beta_{12} x_1 x_2 + \beta_{13} x_1 x_3 + \beta_{23} x_2 x_3 + \beta_{123} x_1 x_2 x_3 + \varepsilon $$

Main effect estimation (untuk orthogonal design):

$$ \boxed{\, \text{Main effect}_j = \frac{\sum_{i=1}^{N} y_i \cdot x_{ij}}{N/2} \,} $$

Two-factor interaction effect:

$$ \text{Interaction}_{jk} = \frac{\sum_i y_i \cdot (x_{ij} \cdot x_{ik})}{N/2} $$

Regression coefficient $\beta = \text{effect} / 2$.

Yates' algorithm (Yates, 1937) untuk efficient computation effects pada $2^k$ design (tabular hand calculation):

Tabulasi response in standard order (Yates order).
Pass-1: add pairs, subtract pairs.
Pass-2: ulangi pada hasil pass-1.
... lanjut $k$ kali.
Divide hasil akhir oleh $N/2$ untuk effects, $N$ untuk grand mean.

Sum of squares per effect:

$$ \text{SS}_{\text{effect}} = \frac{(\text{effect contrast})^2}{N \cdot r} $$

dengan $r$ replicates.

Center points untuk curvature test:

$$ F_{\text{curvature}} = \frac{n_F n_C (\bar{y}_F - \bar{y}_C)^2}{(n_F + n_C) \text{MS}_E} $$

dengan $\bar{y}_F$ mean factorial points, $\bar{y}_C$ mean center points, $n_F$ jumlah factorial run, $n_C$ jumlah center.

2.2 Persamaan Inti

Main effect: $\beta_j = \sum y_i x_{ij} / (N/2)$

Interaction: $\beta_{jk} = \sum y_i (x_{ij} x_{ik}) / (N/2)$

SS per effect: $\text{SS} = (\text{contrast})^2 / (N r)$

Curvature F-test: $F = n_F n_C (\bar{y}_F - \bar{y}_C)^2 / ((n_F + n_C) \text{MS}_E)$

2.3 Asumsi & Batas Validitas

Asumsi	Konsekuensi jika dilanggar	Cara cek di SQalytics
Random sampling + randomization	Time bias	Auto-randomize
Orthogonality dipertahankan	Effect estimation bias	Check via coded matrix
Replicate cukup ($r \geq 2$) untuk error	$\sigma^2$ tidak teridentifikasi	Modul flag $r = 1$
Center points $\geq 3$ untuk curvature	Curvature undetected	Default 4 CP
Linear assumption antara levels	Quadratic effect miss	Curvature test
Normal residuals untuk inferensi	t/F invalid	Pakai QQ-plot di ANOVA hasil

3 Cara Kerja

3.1 Step-by-Step di SQalytics

Buka Factorial Design Builder dari domain Desain Eksperimen.
Daftarkan faktor ($k = 2, 3, 4, 5$): nama, satuan, low/high.
Atur replicates ($r = 2$ default) dan center points (default 4).
Aktifkan randomization.
Klik Generate Design.
Tinjau hasil:
- Tab Design Matrix — full $2^k \cdot r$ run + center points.
- Tab Run Sheet — randomized order.
- Tab Power Analysis — minimum detectable effect dengan $r$ replicates.

3.2 Template Tabel Input + Contoh Data Sintetis

Setup $2^3$ DOE ekstraksi (k = 3 factors, r = 2 replicates, 4 center points):

Factor	Nama	Low (−)	High (+)	Center (0)
A	Temperature	50 °C	80 °C	65 °C
B	Time	15 min	45 min	30 min
C	Solvent ratio	5 mL/g	20 mL/g	12.5 mL/g

3.3 Contoh Luaran

Generated design (8 factorial + 8 replicate + 4 CP = 20 total runs):

Run	A	B	C	Type
1	−	−	−	factorial
2	+	−	−	factorial
3	−	+	−	factorial
4	+	+	−	factorial
5	−	−	+	factorial
6	+	−	+	factorial
7	−	+	+	factorial
8	+	+	+	factorial
9–16	(replicates of 1–8)			replicate
17–20	0	0	0	center

Power analysis:

Metric	Value
$N$ total	20
Main effects	3 (A, B, C)
Two-factor	3 (AB, AC, BC)
Three-factor	1 (ABC)
Center points	4
Degrees of freedom error	$20 - 8 - 4 = 8$ (with replicates)
Min detectable effect ($\alpha=0.05$, power=0.8)	$\sim 1.4\sigma$

Kesimpulan ringkas: "Full $2^3$ factorial dengan 2 replicates + 4 center points = 20 total runs. Semua main effects + interactions ter-estimasi tanpa confounding. Center points memungkinkan curvature test: bila signifikan, perlu RSM Studio untuk quadratic terms. Recommended next: jalankan 20 runs dalam randomized order; analisis di ANOVA Studio dengan model y ~ A * B * C. Bila curvature signifikan, augment design ke Central Composite Design (CCD) di RSM Studio."

Pareto chart effect 2^3 factorial + center-point curvature test — Gambar 1. Analisis $2^3$ full factorial design ekstraksi (data sintetis, 8 factorial + 8 replicate + 4 center points = 20 run). **(a)** Pareto chart effect estimates terurut by magnitude. Tiga effect lulus α = 0.05 significance threshold = 1.39 (orange dashed, dari $t_{0.025,df=8}$ × $SE_{eff}$ = 2.31 × 0.60): **A Temperature (+5.80)** dan **B Time (+4.20)** sebagai main effects dominan, plus **AB interaksi (+2.10)** — temperature dan time berinteraksi positif (sinergi). C, AC, BC, dan ABC tidak signifikan. **(b)** Curvature test: mean yield di 4 center points (78.2 ± 0.55%) lebih tinggi dari mean factorial corners (75.4 ± 0.45%) dengan $\Delta$ = +2.8%, $t$ = 4.00, $p$ < 0.01 — **curvature signifikan**. Implikasi: model linier tidak adekuat; lanjut ke `RSM Studio` (CCD atau Box-Behnken) untuk fit second-order polynomial dan optimasi presisi titik optimum.

4 Kesimpulan

4.1 Relevansi Real-World

Optimasi proses ekstraksi — Temperature × Time × Solvent untuk yield.
Spray drying optimization — Inlet T × Outlet T × Feed rate untuk powder properties.
Bread baking — Time × T × Hydration × Yeast untuk loaf volume.
Yogurt fermentasi — Inoculum × T × Sugar × Time.
Catalyst evaluation — 4 catalysts × 2 levels.

4.2 Where to Go from Here

ANOVA Studio — analisis hasil $2^k$.
Regression Studio — fit linear model dengan interaction terms.
RSM Studio — bila curvature significant, augment ke CCD.
Replicate & Center Point Checker — lack-of-fit diagnostic.

⚙ Troubleshooting Cepat

Run terlalu banyak untuk $k = 5$. $2^5 = 32$ + replicate + CP > 70 runs. Pertimbangkan fractional ($2^{5-1}$ = 16) di Screening Design.

Curvature signifikan. Augment ke CCD di RSM Studio untuk quadratic model.

Replicate vs center point trade-off. Replicate untuk error estimation, CP untuk curvature; keduanya direkomendasi.

i Riwayat Revisi

Tanggal	Revisi	Penulis
2026-05-12	Migrasi MD v2 → HTML final dengan figure publikasi + caption Elsevier-style (W1 batch malam 12 Mei)	Claude
2026-05-12	Draft v2 publikasi (KaTeX $2^k$ + Yates + curvature F-test + APA Fisher/Montgomery/Yates)	Claude

4 Referensi

Fisher, R. A. (1935). The design of experiments. Oliver and Boyd.
Montgomery, D. C. (2017). Design and analysis of experiments (9th ed.). John Wiley & Sons.
Yates, F. (1937). The design and analysis of factorial experiments. Imperial Bureau of Soil Science.
Box, G. E. P., Hunter, J. S., & Hunter, W. G. (2005). Statistics for experimenters: Design, innovation, and discovery (2nd ed.). John Wiley & Sons.
Myers, R. H., Montgomery, D. C., & Anderson-Cook, C. M. (2016). Response surface methodology: Process and product optimization using designed experiments (4th ed.). John Wiley & Sons.