X vs Y Relationship

1 Introduksi

1.1 Latar Belakang

Setelah Correlation Explorer menunjukkan pasangan variabel yang menjanjikan, langkah berikutnya adalah memodelkan hubungan tersebut secara eksplisit: "berapa banyak Y berubah ketika X berubah satu unit?" Pertanyaan ini dijawab oleh regresi linier sederhana, salah satu metode statistik paling tua dan paling banyak dipakai sejak Galton (1886) dan Pearson (1903). Persamaan garis $y = mx + b$ yang dipelajari di sekolah dasar adalah inti regresi linier — bedanya, di statistik kita juga mengestimasi ketidakpastian dari $m$ dan $b$, dan menguji apakah hubungan tersebut signifikan.

Namun banyak hubungan di laboratorium pangan dan kimia tidak linier: pertumbuhan mikroba mengikuti kurva sigmoid, degradasi vitamin C mengikuti eksponensial negatif, kurva kalibrasi UV-Vis kadang sedikit kuadratik di konsentrasi tinggi. Memaksakan model linier pada hubungan non-linier menghasilkan estimasi yang bias dan ekstrapolasi yang berbahaya. Karena itulah modul X vs Y Relationship menyediakan dua mode: Start with linear untuk pembacaan awal yang aman dan mudah ditafsirkan, dan Compare curve types untuk membandingkan linear vs power, exponential, logarithmic, dan polynomial degree-2.

1.2 Tujuan Modul

Modul X vs Y Relationship di SQalytics ditujukan untuk:

Menghitung model regresi linier sederhana $y = mx + b$ dengan slope, intercept, R², p-value, dan 95% CI.
Membandingkan 5 jenis kurva secara serempak: linear, power ($y = ax^b$), exponential ($y = ae^{bx}$), logarithmic ($y = a + b \ln x$), polynomial-2 ($y = a + bx + cx^2$).
Menyajikan prediksi cepat: masukkan nilai X baru, dapatkan estimasi Y dengan interval prediksi.
Menjalankan uji asumsi regresi: linearitas (visual + Ramsey RESET), normalitas residual, homoskedastisitas (Breusch-Pagan).
Audiens utama: mahasiswa yang membangun kurva kalibrasi pertama, peneliti yang memodelkan dosis-respons, analis QC yang mencari hubungan antar parameter proses.

1.3 Posisi di Antara Alternatif

Pilih X vs Y Relationship ketika Anda punya satu prediktor numerik (X) dan satu respons numerik (Y) yang sudah teridentifikasi (mis. dari Correlation Explorer). Untuk >1 prediktor, lanjut ke Predict One Result from Many Variables. Untuk diagnostik regresi lengkap (Cook's distance, leverage, VIF), pakai Regression Studio (Expert Desk). Untuk kurva kalibrasi instrumen analitik (HPLC, UV-Vis dengan satuan jelas), pakai Standard Curve di domain Kimia.

2 Metode

2.1 Dasar Teoretis

Regresi linier kuadrat-terkecil (Ordinary Least Squares, OLS) mencari garis $\hat{y} = mx + b$ yang meminimumkan jumlah kuadrat residual:

$$ \text{SS}_{\text{res}} = \sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2 $$

Solusi analitiknya dapat dihitung tanpa optimisasi iteratif. Asumsi Gauss-Markov yang membuat OLS menjadi best linear unbiased estimator (BLUE): linearitas hubungan, residual independen, residual homoskedastik (varians konstan), residual berdistribusi normal (untuk uji hipotesis).

Comparison kurva dilakukan dengan transformasi linearisasi untuk model non-linier yang dapat dilinearkan:

Model	Bentuk asli	Linearisasi
Power	$y = a x^b$	$\ln y = \ln a + b \ln x$
Exponential	$y = a e^{bx}$	$\ln y = \ln a + bx$
Logarithmic	$y = a + b \ln x$	(sudah linier dalam $\ln x$)
Polynomial-2	$y = a + bx + cx^2$	Multiple regression dengan $x, x^2$

Modul memilih kurva terbaik berdasarkan $R^2$ tertinggi dengan koreksi degrees of freedom (adjusted $R^2$) untuk model polynomial yang memiliki lebih banyak parameter (Theil, 1961).

Diagnostik asumsi:

Linearitas: Ramsey RESET test (Ramsey, 1969) menguji apakah penambahan $\hat{y}^2$ ke regresi memperbaiki fit secara signifikan; bila ya, hubungan tidak linier.
Homoskedastisitas: Breusch-Pagan test (Breusch & Pagan, 1979) menguji apakah varians residual tergantung X.
Normalitas residual: Shapiro-Wilk.

2.2 Persamaan Inti

Estimator OLS untuk slope $\hat{m}$ dan intercept $\hat{b}$:

$$ \hat{m} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} $$ $$ \hat{b} = \bar{y} - \hat{m} \bar{x} $$

Koefisien determinasi:

$$ R^2 = 1 - \frac{\text{SS}_{\text{res}}}{\text{SS}_{\text{tot}}}, \quad \text{SS}_{\text{tot}} = \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2 $$

Standard error slope:

$$ \text{SE}(\hat{m}) = \sqrt{\frac{\text{MS}_{\text{res}}}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}}, \quad \text{MS}_{\text{res}} = \frac{\text{SS}_{\text{res}}}{n-2} $$

Uji signifikansi slope ($H_0$: $m = 0$):

$$ t = \frac{\hat{m}}{\text{SE}(\hat{m})}, \quad t \sim t_{n-2} $$

Interval prediksi untuk nilai X baru $x_0$ (lebih lebar dari interval kepercayaan rata-rata Y):

$$ \hat{y}_0 \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot \sqrt{\text{MS}_{\text{res}}} \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \bar{x})^2}{\sum_i (x_i - \bar{x})^2}} $$

Adjusted $R^2$ untuk membandingkan model dengan jumlah parameter berbeda:

$$ R_{\text{adj}}^2 = 1 - (1 - R^2) \cdot \frac{n-1}{n-p-1} $$

dengan $p$ = jumlah prediktor (1 untuk regresi sederhana, 2 untuk polynomial-2).

2.3 Asumsi & Batas Validitas

Asumsi	Konsekuensi jika dilanggar	Cara cek di SQalytics
Linearitas hubungan	Slope bias, prediksi salah	Ramsey RESET di tabel asumsi; visual scatter
Independensi residual	SE keliru	Periksa desain (time-series butuh metode lain)
Homoskedastisitas	SE keliru, interval prediksi salah	Breusch-Pagan di tabel asumsi
Normalitas residual	Uji hipotesis bias bila $n$ kecil	Shapiro–Wilk pada residual
Tidak ada outlier ekstrem	Slope dominasi outlier	Inspeksi visual + leverage di Regression Studio
Minimal $n = 5$	Tidak ada degrees of freedom untuk uji	Modul menolak <5

3 Cara Kerja

3.1 Step-by-Step di SQalytics

Buka X vs Y Relationship dari domain Statistika Terapan di sidebar.
Pada langkah Pick the question, pastikan tabel aktif sudah siap.
Pada langkah Pick the columns, pilih:
- X column — kolom prediktor numerik (mis. Suhu_C).
- Y column — kolom respons numerik (mis. Yield_pct).
Pada langkah SQalytics checks the data, pilih mode model:
- Start with linear — paling mudah ditafsirkan, output langsung berupa $y = mx + b$ + R².
- Compare curve types — bandingkan 5 jenis kurva, modul memilih yang terbaik berdasarkan adjusted $R^2$.
Klik Run Analysis.
Tinjau hasil: kesimpulan ringkas + persamaan → tabel Model summary → tabel Assumptions → tabel Model comparison → kotak prediksi cepat.
Buka tab Graph untuk scatter + fit line + confidence band, atau ekspor TXT.

3.2 Template Tabel Input + Contoh Data Sintetis

Skema tabel input minimum:

Kolom	Tipe	Satuan	Wajib	Catatan
`x_var`	numeric	sesuai konteks	✓	Minimal 5 nilai unik
`y_var`	numeric	sesuai konteks	✓	Tidak boleh konstan

Contoh data sintetis (11 baris — kurva kalibrasi UV-Vis kuersetin):

konsentrasi_ppm	absorbansi_AU
0.0	0.012
2.0	0.187
4.0	0.362
6.0	0.541
8.0	0.718
10.0	0.895
12.0	1.072
14.0	1.248
16.0	1.423
18.0	1.595
20.0	1.760

SYNTHETIC Kurva kalibrasi UV-Vis kuersetin pada λ = 415 nm, rentang 0–20 ppm, kemiringan ~0.088 AU/ppm. Pola sesuai dengan rentang linier khas spektrofotometer (absorbansi ≤ 1.8). CSV setara tersedia di docs/assets/example-data/id/statistics/template_stats_groups.csv.

3.3 Contoh Luaran

Tabel Model summary (mode Start with linear):

Parameter	Nilai	95% CI	p-value
Slope ($m$)	0.0879	[0.0871, 0.0888]	<0.0001
Intercept ($b$)	0.0143	[-0.0066, 0.0353]	0.156
$R^2$	0.99996	—	—
Adjusted $R^2$	0.99996	—	—
RMSE	0.0064	—	—
$n$	11	—	—

Tabel Assumptions:

Cek	Statistik	p-value	Lulus?
Ramsey RESET (linearitas)	F = 1.42	0.275	✓
Shapiro–Wilk (residual)	W = 0.984	0.978	✓
Breusch-Pagan (homoskedastisitas)	LM = 0.21	0.647	✓

Tabel Model comparison (mode Compare curve types):

Model	Persamaan	$R^2$	Adj $R^2$	RMSE	Rank
Linear	$y = 0.0879x + 0.0143$	0.99996	0.99996	0.0064	1
Polynomial-2	$y = -0.00002x^2 + 0.0883x + 0.013$	0.99996	0.99995	0.0064	2
Power	$y = 0.092x^{0.992}$ (only x>0)	0.9989	0.9988	0.020	3
Exponential	$y = 0.155 e^{0.122x}$	0.96	0.95	0.110	4
Logarithmic	$y = -0.51 + 0.81 \ln x$ (only x>0)	0.61	0.57	0.450	5

→ Model terbaik: Linear (Adjusted $R^2$ tertinggi, RMSE terendah, plus model paling sederhana).

Kesimpulan ringkas: "Hubungan konsentrasi ↔ absorbansi mengikuti garis linier yang sangat kuat: $A = 0.0879 \cdot C + 0.0143$, $R^2 = 0.99996$, p < 0.0001. Setiap kenaikan 1 ppm kuersetin menyebabkan absorbansi naik 0.0879 AU. Intercept ≈ 0 (tidak signifikan), menandakan baseline detektor stabil. Linearitas, normalitas residual, dan homoskedastisitas semua terpenuhi — model siap dipakai untuk prediksi konsentrasi sampel unknown."

📈 Kotak Prediksi Cepat Masukkan: $C_{\text{baru}} = 5.5$ ppm
→ Prediksi: $A = 0.0879 \cdot 5.5 + 0.0143 = $ 0.498 AU
95% interval prediksi: [0.481, 0.515]

Grafik utama: scatter plot $x$ vs $y$ dengan garis fit linier (biru), pita confidence band 95% (biru muda transparan), pita prediction band 95% (abu-abu garis putus-putus), dan persamaan model + $R^2$ di pojok kanan atas.

Kurva kalibrasi UV-Vis dengan fit linier dan confidence band — Gambar 1. Kurva kalibrasi UV-Vis kuersetin pada λ = 415 nm (rentang 0–20 ppm, n=11). Garis fit kuadrat-terkecil (merah): A = 0.0879C + 0.0143, R² = 0.99996. Pita confidence band 95% (untuk rata-rata respons) lebih sempit dari prediction band 95% (untuk observasi individu). Bintang ★ menandai prediksi pada C = 5.5 ppm → A = 0.498 a.u. Linearitas, normalitas residual, dan homoskedastisitas semua terpenuhi.

4 Kesimpulan

4.1 Relevansi Real-World

X vs Y Relationship adalah modul yang paling sering dipakai untuk membuat kurva kalibrasi, memodelkan dosis-respons, dan memprediksi parameter QC di laboratorium pangan. Contoh konkret:

Kurva kalibrasi UV-Vis untuk fenolik total (TPC) — slope = 0.0879 AU/ppm pada λ = 415 nm dengan asam galat standar, dipakai untuk mengkuantifikasi sampel ekstrak.
Kurva ATA (Titratable Acidity) vs pH — hubungan negatif yang dipakai untuk monitoring fermentasi.
Suhu pengeringan vs kadar air final — hubungan eksponensial negatif yang dipakai untuk optimasi setting oven.
Konsentrasi gula vs penyusutan volume jus — hubungan linier yang dipakai untuk koreksi labelling produk.

Dalam konteks publikasi IMRAD, output modul ini (persamaan + $R^2$ + scatter dengan fit line) menjadi Figure utama atau Equation di bagian Metode. Pada Rencana Publikasi Singkil v5, modul ini dipakai pada F2 Tahap 2 — Dose-Response α-Glukosidase — untuk fit kurva Hill yang menghasilkan IC₅₀; meski model Hill 4PL ditangani di Dose-Response IC50 (Expert Desk), modul X vs Y dipakai sebagai validasi linierisasi log-dose pada rentang transition.

4.2 Where to Go from Here

Modul lanjutan di SQalytics:

Predict One Result from Many Variables — bila satu prediktor sudah tidak cukup; lanjut ke PLSR.
Regression Studio (Expert Desk) — bila Anda perlu diagnostik regresi lengkap (Cook's distance, leverage, partial regression plots, residual diagnostics).
Standard Curve (Kimia) — bila respons Anda adalah instrumen analitik dengan satuan jelas (HPLC, UV-Vis); modul itu memiliki LOD/LOQ, working range, dan QC checks tambahan.
Correlation Explorer — kembali untuk meninjau ulang pasangan numerik bila hasil regresi kurang memuaskan.

Pembacaan lanjutan:

Fox, J. (2016). Applied regression analysis and generalized linear models (3rd ed.). SAGE — buku referensi mendalam regresi modern.
Snyder et al. (2010). Introduction to modern liquid chromatography (3rd ed.) — Bab 11 untuk aplikasi regresi pada kurva kalibrasi HPLC.
Dataset publik untuk benchmarking: cars (R built-in, regresi speed vs braking distance), Anscombe's quartet (4 dataset dengan $R^2$ sama tetapi pola berbeda — wajib dilihat untuk memahami batas $R^2$).

⚙ Troubleshooting Cepat

Tombol run masih nonaktif. Pastikan satu kolom X dan satu kolom Y sudah dipilih.

Fit linear terlihat kurang meyakinkan. Coba mode Compare curve types untuk melihat apakah model non-linier (power, exponential, polynomial-2) lebih layak.

Prediksi Y terasa terlalu berani. Periksa apakah nilai X baru masih berada dalam rentang data yang diamati — ekstrapolasi jauh dari data berbahaya, interval prediksi melebar drastis.

Ramsey RESET signifikan (non-linier). Hubungan Anda kemungkinan non-linier; pakai mode Compare curve types atau transformasi $\ln$/√ pada Y.

Breusch-Pagan signifikan (heteroskedastik). Varians residual berubah seiring X; pertimbangkan transformasi log Y atau regresi weighted least-squares di Regression Studio.

i Riwayat Revisi

Riwayat Revisi Panduan

Tanggal	Revisi	Penulis
2026-05-12	Migrasi MD v2 → HTML final (KaTeX rendered + TOC + prediction box + print-friendly CSS)	Claude
2026-05-12	Migrasi v1 → v2 (template publikasi)	Claude
2026-05-09	Draft awal v1	Tim docs

4 Referensi

Breusch, T. S., & Pagan, A. R. (1979). A simple test for heteroscedasticity and random coefficient variation. Econometrica, 47(5), 1287–1294. https://doi.org/10.2307/1911963
Galton, F. (1886). Regression towards mediocrity in hereditary stature. Journal of the Anthropological Institute of Great Britain and Ireland, 15, 246–263.
Pearson, K. (1903). The law of ancestral heredity. Biometrika, 2(2), 211–228.
Ramsey, J. B. (1969). Tests for specification errors in classical linear least-squares regression analysis. Journal of the Royal Statistical Society: Series B, 31(2), 350–371.
Theil, H. (1961). Economic forecasts and policy (2nd ed.). North-Holland.