Replicate & Center Point Checker

1 Introduksi

1.1 Latar Belakang

Replication dan center points adalah dua pillar DOE selain randomization (Fisher, 1935; Montgomery, 2017). Replication memberi pure error estimate ($\sigma^2$) yang independent dari model — esensial untuk inferensi. Center points ($x_i = 0$ semua faktor) memberi lack-of-fit (LOF) test + deteksi curvature — penting untuk validasi linear assumption sebelum lanjut ke quadratic RSM.

Replicate & Center Point Checker adalah modul diagnostik DOE post-execution yang mengevaluasi cukupkah replikasi + center points untuk inferensi yang valid, lalu menjalankan curvature test dan lack-of-fit test.

1.2 Tujuan Modul

Modul Replicate & Center Point Checker di SQalytics ditujukan untuk:

Menerima executed design data (response + factor levels).
Mengevaluasi replicate adequacy ($df_{\text{error}} \geq 8$ rekomendasi).
Menjalankan curvature F-test dari center points.
Menjalankan lack-of-fit F-test dari pure error vs lack-of-fit.
Memberikan rekomendasi: lanjut analisis ANOVA, augment dengan axial points untuk RSM, atau redo dengan more replicates.
Audiens: praktisi DOE setelah eksekusi run.

1.3 Posisi di Antara Alternatif

Pilih Replicate & Center Point Checker setelah eksekusi DOE sebelum ANOVA. Untuk design generation, pakai modul DOE generator. Untuk post-hoc ANOVA, pakai ANOVA Studio. Untuk augmentasi ke RSM, pakai RSM Studio.

2 Metode

2.1 Dasar Teoretis

Pure error dari replicates di same factor levels (mis. center points $n_C \geq 3$):

$$ \text{SS}_{\text{pure error}} = \sum_{c=1}^{n_C} (y_c - \bar{y}_C)^2 $$

dengan $df_{\text{pure}} = n_C - 1$ (untuk center points alone) atau lebih bila ada replicate factorial points.

Curvature F-test (Box, Hunter, & Hunter, 2005, p. 251):

$$ \boxed{\, F_{\text{curv}} = \frac{n_F n_C (\bar{y}_F - \bar{y}_C)^2}{(n_F + n_C) \text{MS}_{\text{pure}}} \,} $$

$F_{\text{curv}} \sim F_{1, n_C - 1}$. Bila $p_{\text{curv}} < 0.05$ → curvature signifikan → linear model insufficient → augment ke RSM (CCD axial points).

Lack-of-fit test (Kutner, Nachtsheim, Neter, & Li, 2005, ch. 6):

$$ F_{\text{LOF}} = \frac{\text{MS}_{\text{LOF}}}{\text{MS}_{\text{pure}}} $$

dengan $\text{MS}_{\text{LOF}} = \text{SS}_{\text{LOF}} / (k - p)$ dan $\text{MS}_{\text{pure}} = \text{SS}_{\text{pure}} / (n - k)$. Bila $F_{\text{LOF}}$ signifikan → model tidak fit (perlu higher order terms).

Replicate adequacy untuk power 0.8 detect effect $\delta = 2\sigma$:

$$ n_{\text{rep}} \geq \frac{8 \sigma^2}{\delta^2 \cdot N_{\text{distinct}}} $$

Rule of thumb: $df_{\text{error}} \geq 8$ untuk acceptable F-test power.

2.2 Persamaan Inti

Pure error SS: $\text{SS}_{\text{pure}} = \sum (y_c - \bar{y}_C)^2$

Curvature F-test: $F = n_F n_C (\bar{y}_F - \bar{y}_C)^2 / [(n_F + n_C) \text{MS}_{\text{pure}}]$

Lack-of-fit F-test: $F_{\text{LOF}} = \text{MS}_{\text{LOF}} / \text{MS}_{\text{pure}}$

Replicate adequacy: $df_{\text{error}} \geq 8$

2.3 Asumsi & Batas Validitas

Asumsi	Konsekuensi jika dilanggar	Cara cek di SQalytics
Center points $\geq 3$ untuk curvature test	Test power rendah	Modul flag $n_C < 3$
Replicate at identical factor levels	Pseudo-replication confounded	Cek levels exact match
Random order execution	Time bias di pure error	Cek run order
Same operator + day untuk center replicates	Block effect masuk pure error	Restricted block
Independent observations	Correlated errors	Time series check

3 Cara Kerja

3.1 Step-by-Step di SQalytics

Buka Replicate & Center Point Checker.
Muat tabel: factor levels + response + run order.
(Auto) Modul identifies center points ($x_i = 0$ all) dan replicates (same level combinations).
Klik Run Diagnostic.
Tinjau hasil: Tab Replicate Summary — count, pure error, df; Tab Curvature Test — F-stat, p-value, decision; Tab Lack-of-Fit Test — F-stat, p-value; Tab Recommendation — augment, redo, atau proceed.

3.2 Template Tabel Input + Contoh Data Sintetis

Factorial $2^3$ + 4 center points:

Run	T	t	C	Response
1	−1	−1	−1	12.5
2	+1	−1	−1	18.2
3	−1	+1	−1	15.4
4	+1	+1	−1	22.1
5	−1	−1	+1	14.8
6	+1	−1	+1	19.5
7	−1	+1	+1	17.0
8	+1	+1	+1	23.4
9	0	0	0	24.5 (center)
10	0	0	0	24.8 (center)
11	0	0	0	24.2 (center)
12	0	0	0	24.6 (center)

3.3 Contoh Luaran

Replicate Summary:

Metric	Value
Factorial points	8
Center points	4
Pure error SS (from center)	0.20
$df_{\text{pure}}$	3
$\text{MS}_{\text{pure}}$	0.067
$\bar{y}_F$ (factorial mean)	17.86
$\bar{y}_C$ (center mean)	24.53

Curvature Test:

Metric	Value
$F_{\text{curv}}$	$8 \cdot 4 \cdot (24.53 - 17.86)^2 / (12 \cdot 0.067) = 1773$
$p_{\text{curv}}$	< 0.001 ✗
Decision	Curvature signifikan — augment ke RSM (CCD)

Recommendation: Curvature signifikan ($p < 0.001$) — center points jauh di atas extrapolasi linear dari factorial corners (24.53 vs prediksi linear ~17.86). Linear model inadequate. Recommendation: augment design dengan axial points (CCD = Central Composite Design) di RSM Studio untuk fit second-order quadratic model. Replicate adequacy OK ($df_{\text{pure}} = 3$, $\sigma^2$ ter-estimasi).

Kesimpulan ringkas: "Diagnostik DOE menunjukkan center points jauh lebih tinggi dari prediksi linear (24.5 vs 17.9). Curvature F-test sangat signifikan ($F = 1773$, $p < 0.001$) — ada quadratic effect kuat. Action: lanjut ke RSM Studio untuk augment dengan axial points (mis. $\alpha = 1.682$ untuk rotatable CCD); design final menjadi $2^3 + 2 \cdot 3 + 4 = 18$ runs. Setelah eksekusi axial points, fit second-order polynomial untuk identifikasi optimum stasioner."

Diagnostik DOE: curvature test dari center points vs factorial means dan F-test bars dengan RE annotation di ruang kosong antara dua bar — Gambar 1. Diagnostik `Replicate & Center Point Checker` untuk $2^3$ factorial + 4 center points (data sintetis). **(a)** *Scatter* plot center points vs factorial means: 4 center point replicates ($\bar{y}_C = 24.53$, ditampilkan sebagai titik biru, *run-number italic abu-abu di pojok kiri-atas* tiap titik) vs 8 factorial corners ($\bar{y}_F = 17.86$, titik abu-abu); garis putus-putus = prediksi linear dari model; gap besar ($\Delta = 6.67$) menunjukkan **curvature signifikan**. **(b)** *Bar chart* F-test: bar kiri = $F_{\text{curv}} = 1773$ (merah, sangat tinggi) dan bar kanan = $F_{\text{critical}} = 10.13$ ($\alpha = 0.05$, garis referensi abu-abu); **anotasi RE = $F_{\text{curv}} / F_{\text{critical}} = 174.9\times$** ditempatkan di **ruang kosong antara dua bar** tanpa overlapping; *label* "(augment ke RSM)" di atas bar kiri. Gradasi warna teal→merah pada bar intensitas menunjukkan severity level. ***Legend*** bottom-center di bawah kedua *panel*. Kesimpulan: linear model inadequate — augment ke CCD wajib (Box et al., 2005; Kutner et al., 2005).

4 Kesimpulan

4.1 Relevansi Real-World

Post-execution DOE checkpoint sebelum analisis ANOVA.
Validation linear assumption untuk screening design.
Trigger augmentation ke CCD / Box-Behnken ketika curvature significant.
Pure error estimation untuk power study future experiments.

4.2 Where to Go from Here

RSM Studio — augment dengan axial points.
ANOVA Studio — analisis setelah model adequacy validated.
Factorial Design Builder — re-design dengan center points lebih banyak.

⚙ Troubleshooting Cepat

Center points kurang (< 3). Tambah run di center; minimum 3 untuk curvature test.

No replicate. Pakai center points sebagai pure error proxy.

Curvature signifikan + lack-of-fit signifikan. Model fit buruk; augment ke quadratic.

All replicates identical (zero SS). Suspicious; cek apakah operator copy-paste.

i Riwayat Revisi

Tanggal	Revisi	Penulis
2026-05-12	Migrasi MD v2 → HTML final dengan figure publikasi + caption Elsevier-style (W2 batch 12 Mei)	Claude
2026-05-12	Draft v2 publikasi (KaTeX curvature/LOF F-test + APA Box/Montgomery/Kutner)	Claude

4 Referensi

Box, G. E. P., Hunter, J. S., & Hunter, W. G. (2005). Statistics for experimenters: Design, innovation, and discovery (2nd ed.). John Wiley & Sons.
Montgomery, D. C. (2017). Design and analysis of experiments (9th ed.). John Wiley & Sons.
Kutner, M. H., Nachtsheim, C. J., Neter, J., & Li, W. (2005). Applied linear statistical models (5th ed.). McGraw-Hill/Irwin.
Myers, R. H., Montgomery, D. C., & Anderson-Cook, C. M. (2016). Response surface methodology (4th ed.). John Wiley & Sons.