Response Overlay / Sweet Spot Finder

1 Introduksi

1.1 Latar Belakang

Sweet spot atau operating window adalah region multi-dimensi di faktor space di mana semua kriteria respons terpenuhi sekaligus. Berbeda dari Quick Design Optimizer yang memberi single point optimum, modul ini menggambar peta semua kombinasi yang feasible — penting untuk flexibility production (Myers, Montgomery, & Anderson-Cook, 2016; Khuri & Mukhopadhyay, 2010). Visualisasi standar: overlay contour plot dari multiple responses dengan acceptance constraints dilebur.

Contoh: produsen yogurt ingin yield > 80%, pH 4.4–4.6, dan time-to-set < 6 jam. Setiap response punya contour di plane (Temperature × Inoculum). Overlay ketiga contour memberi sweet spot polygon — region operations yang aman untuk drift kecil sambil tetap meet semua spec.

1.2 Tujuan Modul

Modul Response Overlay / Sweet Spot Finder di SQalytics ditujukan untuk:

Membaca multiple fitted models dari RSM Studio atau Regression Studio.
Menggambar overlay contour plot 2D untuk pasangan faktor (dengan faktor lain di-hold pada nilai tertentu).
Menerapkan constraint specifications per response.
Mengidentifikasi sweet spot region sebagai intersection semua constraint.
Audiens: praktisi industri yang butuh operating window, peneliti yang menyajikan robust design region untuk publikasi.

1.3 Posisi di Antara Alternatif

Pilih Response Overlay untuk visualisasi multi-response sweet spot. Untuk single point optimum (numerik), pakai Quick Design Optimizer. Untuk fit model, pakai RSM Studio. Untuk single response contour, pakai modul Graphing Distribution / Heatmap.

2 Metode

2.1 Dasar Teoretis

Contour plot untuk response $y_i = f_i(x_1, x_2)$ — iso-value curves:

$$ \{ (x_1, x_2) : f_i(x_1, x_2) = c \} $$

untuk multiple $c$ values. Plot dalam plane $(x_1, x_2)$ dengan faktor lain di-hold pada nilai tertentu (slice plot).

Sweet spot region sebagai intersection inequalities:

$$ S = \{ (x_1, x_2) : L_i \leq f_i(x_1, x_2) \leq U_i \ \forall i \} $$

Visualisasi: shading area $S$ pada plot, dengan boundary contours dari setiap constraint berbeda warna. Jika $S = \emptyset$ (intersection kosong), berarti specifications incompatible — perlu re-think spec atau tambah faktor.

Operating window robustness — radius $r$ dari current operating point sampai boundary $S$:

$$ r = \min_{(x_1, x_2) \in \partial S} \sqrt{(x_1 - x_1^*)^2 + (x_2 - x_2^*)^2} $$

Operating point $x^*$ dengan $r$ besar berarti drift tolerance tinggi — robust manufacturing.

Cubic spline interpolation atau direct fitted model evaluation untuk render contour smooth.

2.2 Persamaan Inti

Contour: $\{(x_1, x_2) : f_i = c\}$

Sweet spot: $S = \{(x_1, x_2) : L_i \leq f_i \leq U_i \ \forall i\}$

Robustness radius: $r = \min_{\partial S} \text{distance}(x^*, \partial S)$

2.3 Asumsi & Batas Validitas

Asumsi	Konsekuensi jika dilanggar	Cara cek di SQalytics
Models fits good ($R^2 > 0.9$)	Contour bias	Pre-check model diagnostics
Specifications realistis dan compatible	$S = \emptyset$	Modul flag impossible
Held-constant faktor di realistic level	Slice tidak representatif	Multiple slice exploration
Factor space dalam range design	Extrapolasi bias	Modul flag edge

3 Cara Kerja

3.1 Step-by-Step di SQalytics

Buka Response Overlay / Sweet Spot Finder dari domain Desain Eksperimen.
Muat fitted models dari RSM Studio (CSV koefisien) atau definisikan manual.
Pilih 2 faktor untuk plane plot (X-axis, Y-axis).
Set held-constant faktor lain pada nilai tertentu (mis. mid-range).
Per response, tetapkan constraints $L_i$, $U_i$.
Pilih palette warna per response (Wong colorblind-safe rekomendasi).
Klik Generate Overlay.
Tinjau hasil: Tab Overlay Plot — semua contour + sweet spot shading; Tab Sweet Spot Stats — area, centroid, robustness radius; Tab Slice Explorer — interactive change held-constant.

3.2 Template Tabel Input + Contoh Data Sintetis

Setup yogurt optimization (2 factors plotted, 3 responses with constraints):

Response	Model (fitted from RSM)	$L$	$U$
Yield (%)	$80 + 5T + 2I - 0.5T^2$	75	—
Final pH	$4.5 - 0.1T + 0.05I$	4.3	4.7
Time-set (h)	$8 - 0.3T - 0.2I + 0.02 T \cdot I$	—	6

Plot factors: T (Temperature, °C, coded −1 to +1 → 35 to 45 °C), I (Inoculum, %, coded −1 to +1 → 1.5% to 3.5%).

3.3 Contoh Luaran

Region	Y/N	Catatan
Yield ≥ 75%	✓	Bagian atas-kanan plane
pH 4.3–4.7	✓	Strip horizontal sentral
Time-set ≤ 6 h	✓	Bagian kanan (T tinggi)
Sweet spot intersection	✓	Polygon kecil di T = 0.2 to 0.8, I = −0.3 to 0.5
Sweet spot area	22%	Dari total faktor space
Centroid sweet spot	T = +0.5 (42.5 °C), I = +0.1 (2.6%)	Recommended operating point
Robustness radius	0.35 (coded units)	Drift ± 1.75 °C / ± 0.35% inoculum safe

Kesimpulan ringkas: "Overlay 3 responses mengungkap sweet spot kecil (22% factor space) di T = 42–45 °C dan Inoculum = 2.3–3.0%. Recommended operating point: 42.5 °C + 2.6% inoculum dengan robustness radius 0.35 (coded) — equivalent ± 1.75 °C dan ± 0.35% inoculum drift tolerance sebelum out-of-spec. Trade-off: T lebih rendah memberi pH lebih tinggi (out of spec) tetapi waktu set lebih lama (out of spec). T lebih tinggi memenuhi time + pH tetapi marginal yield. Recommendation untuk production: kontrol T 42.5 ± 1 °C, I 2.6 ± 0.2%, dan jalankan SPC chart untuk drift monitoring di SPC Xbar / R Charts."

Overlay contour plot 3 responses dengan sweet spot region yang di-shade sebagai intersection constraints — yogurt optimization T vs Inoculum plane — Gambar 1. Overlay contour plot multi-response untuk optimasi fermentasi yogurt — 3 responses, 2 faktor (Temperature T vs Inoculum I), data sintetis. Setiap response ditampilkan dengan warna unik (Wong colorblind-safe palette): **Yield ≥ 75%** (biru, boundary = garis tebal biru, region feasible di kanan-atas), **pH 4.3–4.7** (oranye, dua boundary = strip horizontal sentral), **Time-set ≤ 6 h** (hijau, boundary = kanan plane). **Sweet spot region** $S$ (intersection semua tiga constraints) di-shade abu-abu muda — polygon 22% dari total factor space di T = +0.2 to +0.8, I = −0.3 to +0.5 (coded). **Centroid** sweet spot ditandai *marker* "+" dengan *label* "42.5 °C, 2.6%" (recommended operating point). **Robustness radius** $r = 0.35$ ditampilkan sebagai lingkaran putus-putus di sekitar centroid; area dalam lingkaran = drift-safe zone. Keterangan tabel constraint dan area sweet spot di pojok kanan-bawah. Reproduced via `design_rsm` dengan cubic spline interpolation 100×100 grid (Myers et al., 2016; Khuri & Mukhopadhyay, 2010).

4 Kesimpulan

4.1 Relevansi Real-World

Fermentasi production — yogurt, kombucha, beer dengan spec multi-quality.
Pharmaceutical tableting — disolusi + hardness + friability sweet spot.
Cookie baking — color + texture + moisture window.
Biorefinery — yield + purity + cost.
3D printing parameters — strength + accuracy + cycle time.

4.2 Where to Go from Here

RSM Studio — source fitted models.
Quick Design Optimizer — numerical optimum.
SPC Xbar / R Charts — monitor drift dalam sweet spot.
Replicate & Center Point Checker — validasi di centroid.

⚙ Troubleshooting Cepat

Sweet spot empty. Specifications incompatible — relax salah satu atau tambah faktor.

Plot tidak rendering smooth. Tingkatkan grid resolution (default 100 × 100); cek model $R^2$.

Held-constant arbitrary. Pakai centroid dari faktor design untuk slice paling representatif.

i Riwayat Revisi

Tanggal	Revisi	Penulis
2026-05-12	Migrasi MD v2 → HTML final dengan figure publikasi + caption Elsevier-style (W2 batch 12 Mei)	Claude
2026-05-12	Draft v2 publikasi (KaTeX contour/sweet spot/robustness + APA Myers/Khuri/Box-Draper)	Claude

4 Referensi

Myers, R. H., Montgomery, D. C., & Anderson-Cook, C. M. (2016). Response surface methodology: Process and product optimization using designed experiments (4th ed.). John Wiley & Sons.
Khuri, A. I., & Mukhopadhyay, S. (2010). Response surface methodology. Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics, 2(2), 128–149. https://doi.org/10.1002/wics.73
Box, G. E. P., & Draper, N. R. (2007). Response surfaces, mixtures, and ridge analyses (2nd ed.). John Wiley & Sons. https://doi.org/10.1002/9780470181812
Anderson, M. J., & Whitcomb, P. J. (2017). RSM simplified: Optimizing processes using response surface methods for design of experiments (2nd ed.). CRC Press.